Spectral Collocation Methods on Semi-Infinite Domains and Application to Open Boundary Conditions

Benacchio, Tommaso

Spectral Collocation Methods on Semi-Infinite Domains and Application to Open Boundary Conditions

Thursday 22nd July 2010

Bonaventura, L.

We introduce a spectral approach to the problem of numerical open boundary conditions with applications in environmental modelling. When differential problems are defined on unbounded domains, an artificial boundary is introduced to encompass a finite region of interest, and the equations are solved in this region by standard techniques. Suitable conditions have to be enforced on the boundary that avoid the occurrence of spurious or unphysical phenomena; however, conventional rigid lids and constant pressure surfaces entail energy reflection, while the classical approaches of radiative boundary conditions and absorbing/sponge layers are either difficult to derive or computationally expensive and inefficient. We tackle the problem in a more direct way, approximating with spectral methods the equations in a semi–infinite domain attached to the finite region of interest. We review the main results on polynomial approximation and interpolation on the real positive half line with Laguerre polynomials and Laguerre functions, notably taking into account a special class of scaled Laguerre functions which enable to represent different spatial scales in the same framework. Next, we apply these results to the approximation of open channel flow equations with spectral methods on semi–infinite domains. The linear and nonlinear shallow water equations are discretized on a half line with collocation methods in space and semi–Lagrangian, semi–implicit time discretization techniques. The resulting stable, spectrally accurate method yields a tool which can be interfaced with a numerical discretization of the equations in a finite domain and, using low–order quadrature rules, is expected to outperform the cost of traditional absorbing layers. To give an example, we consider a finite volume discretization in a finite domain and attach to the right endpoint a semi–infinite discretization. We show that a reasonable number of spectral base functions is sufficient to reach the accuracy necessary for practical implementation of open boundary conditions, along with an accurate treatment of the solution behaviour at infinity. Il lavoro si propone di studiare un approccio con metodi spettrali per il trattamento di condizioni al contorno aperte applicate alla modellistica ambientale. Nella risoluzione di problemi differenziali su domini illimitati viene introdotta una frontiera artificiale intorno alla regione finita di interesse in cui le equazioni del modello in esame vengono risolte con metodi di discretizzazione standard. Su tale frontiera vanno imposte opportune condizioni al contorno tali da evitare l’insorgere di fenomeni spuri, tuttavia scelte tradizionali come pareti rigide o superfici a pressione costante causano riflessioni di energia, mentre approcci classici quali condizioni di tipo radiazione o strati assorbenti/spugne sono difficili da ricavare o computazionalmente inefficienti. Nel presente lavoro il problema viene affrontato direttamente, approssimando le equazioni con un metodo spettrale in un dominio semi–infinito collegato alla regione finita. Si studiano i principali risultati di approssimazione e interpolazione polinomiale sulla semiretta reale positiva con polinomi e funzioni di Laguerre, considerando anche una particolare classe di funzioni di Laguerre riscalate che permettono di rappresentare diverse scale spaziali. Si applicano poi questi risultati per l’approssimazione delle equazioni per fluidi in canale aperto su domini semi–infiniti. Si discretizzano le equazioni delle acque basse lineari e non lineari su una semiretta con un metodo di collocazione spettrale in spazio e tecniche di tipo semi–implicito semi–Lagrangiano in tempo. Il metodo che ne risulta è stabile e accurato e fornisce uno strumento che, collegato a una discretizzazione finita, grazie all’uso di formule di quadratura di basso ordine, ha un minor costo computazionale rispetto agli strati assorbenti standard. Come esempio si considera una approssimazione ai volumi finiti in un dominio finito e si collega nell’estremo destro la discretizzazione semi–infinita. Si mostra che è sufficiente un numero relativamente basso di funzioni di base spettrali per raggiungere l’accuratezza necessaria all’implementazione di condizioni al contorno aperte, con un trattamento accurato della soluzione all’infinito.