Numerical methods for the solution of the Burgers equation with stochastic coeffcients

Brumana, Marco

Numerical methods for the solution of the Burgers equation with stochastic coeffcients

Thursday 23rd October 2008

Bonaventura, L.

Nobile, F.

La ricerca di aderenza sempre maggiore alla realta ha portato scienziati e ricercatori ad introdurre della stocasticita all interno delle equazioni che modellano i sistemi in oggetto di studio. In letteratura sono state ampiamente studiate equazioni a derivate parziali di tipo parabolico ed ellittico. Le edp di tipo iperbolico a causa della loro instabilità sono più difficili da studiare. Lo scopo del nostro lavoro e di studiare un problema modello iperbolico in 1D: l equazione di Burgers a coefficienti stocastici. Questi sono definiti come campi stocastici Gaussiani, in un primo momento senza correlazione spaziale e in un secondo momento con correlazione spaziale. Utilizziamo l espansione di Karhunen-Loeve per diminuire in modo significativo le variabili aleatorie necessarie a descrivere il campo stocastico. E stato svolto uno studio volto a stabilire l ordine ottimale di troncamento di questa espansione, giusto pay-off tra la precisione nella descrizione e la velocita di calcolo. Sono presentati tre metodi di risoluzione per problemi stocastici: il metodo Monte Carlo, il metodo di Galerkin stocastico e il metodo di collocazione stocastica. Tra questi sono implementati il primo e il terzo. Il primo approccia il problema da un punto di vista statistico appoggiandosi sul Teorema Centrale del Limite, il terzo discretizza lo spazio casuale e calcola la soluzione del problema nei nodi di una griglia sparsa in modo da non cadere nella maledizione della dimensionalità nel caso si usi la griglia del prodotto tensoriale. Per ogni nodo i valori dei coefficienti stocastici sono noti e quindi si risolvono un numero limitato di problemi deterministici. Il metodo Monte Carlo e usato inizialmente per analizzare il comportamento della soluzione. La sua funzione di distribuzione di probabilita calcolata in quattro punti fissati del dominio spaziale ad un determinato istante temporale ha un profilo bimodale per alte perturbazioni, mentre per basse perturbazioni la mancanza di simmetria fa rigettare comunque l ipotesi di normalita . Il metodo Monte Carlo fornisce inoltre i valori dei primi quattro momenti della distribuzione di probabilità nei quattro punti campione ad un istante di tempo fissato, che sono confrontati con i valori ottenuti con il metodo di collocazione stocastica. La verifica, seppur parziale, della dipendenza continua della soluzione rispetto ai coefficienti stocastici sembra aprire la strada a futuri studi riguardo l uso della tecnica di collocazione stocastica per interpolare la funzione di distribuzione di probabilità lungo tutto il dominio spaziale.