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Author: Cassani, Luca
Title: Metodo dei domini fittizi per problemi di interazione fluido-struttura
Date: Thursday 21st October 2010
Advisor: Nobile, F.
Advisor II: Formaggia, L.
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Abstract: Questo lavoro di tesi riguarda la soluzione numerica delle equazioni di Navier-Stokes attorno a corpi rigidi eventualmente in movimento. Obiettivo finale è quello di simulare il fl usso sanguigno attorno ad una geometria sempli cata di valvola cardiaca arti ficiale. Il problema di interazione fl uido-struttura viene modellato tramite un metodo dei domini fittizi, presentato inizialmente in [25] per la soluzione di problemi ellittici su domini complessi cui sono applicate condizioni al contorno di Dirichlet. La derivazione di tale metodo applicato alle equazioni di Navier-Stokes e la sua discretizzazione ad elementi fi niti sono ampiamente trattate in questa tesi, seguendo i lavori [22], [21] e [20]. Inoltre, viene proposto un precondizionatore efficiente per il sistema algebrico derivante dal problema discreto. Il solutore numerico è stato sviluppato tramite la libreria a elementi finiti FreeFem++ ed e stato per prima cosa validato tramite comparazione con il benchmark in [40] per la corrente 2D attorno ad un cilindro fermo a Reynolds Re = 100. Successivamente viene validato il solutore fl uido-struttura simulando il flusso attorno ad un cilindro elasticamente sospeso, sempre in 2D e a Re = 100. Una volta validato il codice si passa alla simulazione di una geometria sempli cata 2D di una valvola cardiaca arti ciale. Le simulazioni vengono e ffettuate a numeri di Reynolds moderati (ReMAX = 500), inferiori ai valori reali di ReMAX = 7000 che vengono indicati in [17]. Per queste simulazioni si è resa necessaria la derivazione di un nuovo schema di accoppiamento fluido-struttura quasi-implicito e viene mostrato come quest ultimo schema garantisca maggior stabilità sulla soluzione rispetto allo schema implementato per la soluzione del cilindro elasticamente sospeso. Infine, vengono comparati i risultati ottenuti utilizzando diverse funzioni per la modellazione delle azioni repulsive per la gestione dei contatti. Parole chiave: equazioni di Navier-Stokes incomprimibili, interazione fluido-struttura, metodo dei domini fittizi, grandi spostamenti, cilindro fermo e oscillante, valvola cardiaca artificiale. This thesis is focussed on the solution of the Navier-Stokes equations in presence of immersed rigid bodies, eventually in motion inside the fluid. The final goal is the simulation of the blood flow around a simplified geometry of an artificial cardiac valve. The fluid-structure interaction problem is modelled through a fictitious domain method, firstly introduced in [25] for the solution of elliptic problems on complex domain with Dirichlet boundary conditions. The derivation of such a method applied to the Navier-Stokes equations and its finite element discretization is widely reported in this thesis, following [22], [21] and [20]. Moreover, an efficient preconditioner for the algebraic system deriving from the discretized problem is presented as well. The numerical solver has been developed with FreeFem++ and was firstly validated through comparison with the benchmark in [40] for the 2D ow around a fixed cylinder with a Reynolds number Re = 100. Afterwards the fluid-structure interaction solver has been validated through the simulation of the flow around a cylinder free to oscillate spanwise, again in 2D and again at a Reynolds number Re = 100. Once the solver has been validated we move to the simulation of a simplified 2D geometry of an artificial cardiac valve. The simulations have been run at a moderate Reynolds number (ReMAX = 500), lower than the real one of Re = 7000 reported in [17]. For these simulations the derivation of a new quasi-implicit fluid-structure coupling scheme was needed and the solution obtained with the latter method has been compared with the ones obtained with the former one, used also for the simulation of the free-oscillation of the cylinder. Finally, the results obtained using different modelling of the repulsive actions for the contact has been compared each other. Keywords: incompressible Navier-Stokes equations, fluid-structure interaction, fictitious domain method, large displacements, fixed and free cylinder, artificial cardiac valve.