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Author: Bertoletti, Luca
Title: Un'applicazione della Teoria del Controllo Ottimo all'Assimilazione di Dati al contorno per modelli idrodinamici
Date: Thursday 20th December 2007
Advisor: Formaggia, L.
Advisor II: Bonaventura, L.
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Abstract: La modellazione dell'andamento delle maree e della propagazione di onde superficiali all'interno di laghi, mari e oceani può essere descritta correttamente da sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo iperbolico, noti come equazioni delle acque poco profonde o acque basse, per la cui risoluzione è necessario imporre delle opportune condizioni iniziali e al contorno. Si noti che tali equazioni sono matematicamente del tutto equivalenti alle equazioni di Eulero bidimensionali per un fluido comprimibile omogeneo, per cui molti dei risultati ottenuti studiando le equazioni delle acque basse sono di fatto estendibili anche ad applicazioni aerodinamiche. In molti casi, i dati iniziali e al bordo possono essere noti solo in modo approssimato, per carenza di dati misurati. Il problema della ricostruzione di dati iniziali e al bordo a partire dalle misure disponibili (in genere effettuate in un numero molto ridotto di punti) è noto come problema dell' assimilazione dati. La letteratura su questo tema è molto ampia in meteorologia ed oceanografia (si veda ad esempio (Courtier et al., 1994), (Ide et al., 1997), (Talagrand, 1997)). Nell'ambito di questa tesi si è studiato un particolare approccio al problema della ricostruzione di dati al contorno di tipo Dirichlet sul bordo aperto di un bacino idrico, partendo da dati di misura dell'elevazione della superficie dell'acqua disponibili in punti del contorno che rappresentano la costa. Tale problema è molto comune nelle applicazioni di previsione delle maree e della circolazione idrodinamica in bacini costieri, per cui spesso serie temporali dell'elevazione della marea sono disponibili in punti isolati (bocche di porto, stazioni idrometeorologiche), ma assenti lungo il bordo di mare aperto del dominio computazionale. In particolare, si sono studiate le tecniche proposte in (Agoshkov, 2004) e (Agoshkov, 2005) per semplificare il problema suddetto e ricondurlo ad una successione di problemi di controllo ottimo per equazioni ellittiche, ottenute da una particolare discretizzazione temporale delle equazioni delle acque poco profonde. Tali tecniche sono state adattate alla discretizzazione temporale e alle condizioni al contorno usate ad esempio nel modello numerico proposto in (Miglio et al., 1999), derivando le opportune varianti dei problemi di controllo introdotti negli articoli originali per una diversa formulazione delle condizioni al contorno. Mediante l'applicazione ad un problema di circolazione idrodinamica in un bacino costiero idealizzato si è poi potuta verificare l'applicabilità pratica dell'approccio studiato, entro limiti che sono stati evidenziati dalle simulazioni svolte e che non erano stati analizzati nei lavori originali (Agoshkov, 2004) e (Agoshkov, 2005). Nel Capitolo 2 verrano introdotte le equazioni di moto utilizzate per la descrizione della circolazione idrodinamica all'interno di domini con acque poco profonde, basandosi sulla teoria delle Shallow Waters. Nel Capitolo 3 si espliciterà il problema dell'assimilazione di dati, riformulandolo per la ricostruzione del dato al bordo di un problema idrodinamico. Nel Capitolo 4 verrà presentato il metodo numerico utilizzato per la discretizzazione delle equazioni differenziali e quindi la sua implementazione. Infine nel Capitolo 5 vengono riportati i risultati per un caso di studio idealizzato analizzando la sensitività della soluzione numerica rispetto a alcuni parametri.