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Author: Aletti, Matteo Carlo Maria
Title: Metodo Monte Carlo e quasi-Monte Carlo per l integrazione numerica
Date: Thursday 22nd September 2011
Advisor: Alfio Quarteroni
Advisor II:
Co-advisor: Lorenzo Tamellini
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Abstract: Il calcolo di integrali in più dimensioni è importante in diverse applicazioni. Il metodo Monte Carlo è un metodo per ottenere un approssimazione numerica di un integrale multidimensionale. Vedremo che esso è particolarmente adatto a integrare funzioni che dipendono da un elevato numero di variabili. La sua peculiarità consiste nell essere un algoritmo stocastico. Di conseguenza, le sue proprietà di convergenza derivano da noti teoremi della probabilità: la legge forte dei grandi numeri e il teorema limite centrale. Il metodo Monte Carlo ha ordine di convergenza pari a 1/n^(1/2), dove n è il numero di punti campionati. E dunque un metodo lento; tuttavia un aspetto assai rilevante è che il tasso di convergenza, anche se limitato, è indipendente dalla dimensione del dominio di integrazione. Inoltre nei teoremi di convergenza che vedremo non ci sono ipotesi di regolarità per la funzione integranda, oltre che la semplice appartenenza a L^2. Esistono alcune tecniche di accelerazione della convergenza del metodo. Noi ci occuperemo qui del cosiddetto metodo quasi-Monte Carlo basato sulla seguente idea. Il metodo Monte Carlo si basa sui numeri pseudo-random che vorrebbero rappresentare la popolazione di una distribuzione uniforme; il metodo quasi-Monte Carlo, invece, genera la popolazione casuale con i numeri quasi-random che si differenziano dai precedenti per avere una distribuzione più omogenea ed equispaziata, garantendo un ordine di convergenza prossimo a 1/n. Come il metodo Monte Carlo, anche quest ultimo ha ipotesi ridotte sulla funzione integranda, vedremo infatti che esso è adatto a integrare funzioni discontinue. Nei capitoli 1, 2 vedremo rispettivamente le proprietà del metodo Monte Carlo e del metodo quasi-Monte Carlo di cui considereremo l implementazione con i punti di Sobol , una sequenza di numeri quasi--random. Nel capitolo 3 verificheremo sperimentalmente le proprietà enunciate nei capitoli precedenti. Infine vedremo nel capitolo 4 un applicazione dei metodi discussi all analisi di sensitività di un problema di flusso in mezzi porosi. I metodi proposti sono di forte interesse in questo tipo di applicazione. Infatti l obiettivo dell analisi è di calcolare la media di una certa quantità al variare di un parametro fisico che non si conosce con precisione, per farlo vedremo che è necessario calcolare un integrale N-dimensionale e l uso dei metodi Monte Carlo e quasi-Monte Carlo risulta naturalmente adatto.