Modellazione e simulazione numerica delle equazioni di Navier-Stokes con interfaccia porosa

Carrettoni, Marco; Cravedi, Paolo

Modellazione e simulazione numerica delle equazioni di Navier-Stokes con interfaccia porosa

Tuesday 20th December 2011

Nobile, F.

Formaggia, L.

Il nostro lavoro si occupa della modellizzazione e della simulazione numerica di un fluido incomprimibile governato dalle equazioni di Navier{Stokes all interno di un dominio caratterizzato dalla presenza di una parete di interfaccia porosa al suo interno.La situazione appena descritta puo rappresentare il caso di flusso sanguigno all interno di un aneurisma cerebrale in presenza di uno stent. Per ragioni che vedremo spiegate piu in dettaglio nel capitolo 2, un possibile approccio semplicato per modellizzare la presenza dello stent consiste nel trascurare i dettagli geometrici delle maglie e considerarlo come un interfaccia porosa omogenea immersa nel uido. Dal punto di vista numerico, la presenza dello stent puo essere rappresentata per mezzo di un termine dissipativo di supercie aggiunto alle classiche equazioni di Navier-Stokes per flussi incomprimibili. Tale termine aggiuntivo introduce un salto negli sforzi e, dunque, nella pressione in corrispondenza dell interfaccia; cio puo essere fonte di problemi dal punto di vista numerico. Per rispondere a tali problematiche abbiamo proposto l uso di particolari spazi ad elementi finiti per la pressione; usiamo in particolare elementi continui ovunque, tranne che in corrispondenza della parete di interfaccia. Tale effetto e ottenuto mediante il raddoppio dei gradi di liberta presenti sulla parete interna al dominio su cui poniamo il termine dissipativo. L introduzione di un problema modello e della sua discretizzazione a livello numerico sono contenuti nel capitolo 3. Il nostro lavoro e stato principalmente quello di implementare un codice di calcolo numerico in grado di risolvere problemi di Navier-Stokes in presenza di interfacce porose. Abbiamo deciso di lavorare su LifeV, una libreria di calcolo scientico basata sul linguaggio C++ sviluppata dal Politecnico di Milano in collaborazione con altri grandi istituti internazionali. La fase di adattamento del codice preesistente di LifeV alle nostre esigenze ha richiesto un grande sforzo implementativo, dato che la versione originale non prevede in alcun modo l inserimento di condizioni di tipo Robin (ovvero condizioni che legano la velocita al salto dello sforzo normale) su elementi interni al dominio di calcolo. Tutte le modiche che abbiamo dovuto apportare ai codici di LifeV sono riportate nel capitolo 4. Inne abbiamo utilizzato il nostro codice per eettuare alcune simulazioni numeriche e testarne l efficacia. Inizialmente abbiamo analizzato il caso di usso all interno di un cilindro con presenza di interfaccia porosa. Abbiamo confrontato i risultati ottenuti nel nostro caso test con la soluzione classica di flusso di Poiseuille che ritroveremmo in assenza di condizioni di interfaccia. Abbiamo inoltre confrontato le prestazioni degli spazi ad elementi niti da noi proposti rispetto agli spazi tradizionali. Infine abbiamo testato il nostro metodo su un caso test analitico di cui e nota la soluzione esatta e ne abbiamo studiato le proprieta di convergenza. Tutti i test numerici riportati nella sezione 5 fanno uso di spazi del tipo P1Bolla-P1 con pressione discontinua in corrispondenza dell interfaccia porosa.