Publication Results



Author: Tarabelloni, Nicholas
Title: Soluzione numerica del problema di Laplace in un dominio variabile
Date: Tuesday 27th September 2011
Advisor: Arioli, G.
Advisor II:
Download link:
Abstract: La descrizione di un fenomeno attraverso un modello matematico ha come fase fondamentale l'acquisizione dei dati e dei parametri che ne governano i molteplici aspetti. Questi riguardano molto spesso le grandezze fisiche coinvolte, le caratteristiche geometriche o le condizioni al contorno a cui sono soggette le equazioni che lo costituiscono. Un buon modello non deve soltanto essere in grado di spiegare correttamente una particolare realizzazione del fenomeno studiato, soggetta ad ingressi specifici, ma anche mostrare una certa robustezza al variare delle condizioni a cui è sottoposto. Per questo in fase di costruzione é importante porre l'accento sulla robustezza del modello matematico, ed esaminarla a posteriori una volta implementato. Esistono diversi metodi per lo studio della robustezza di un modello. ad esempio metodi che si basano sulla quantificazione probabilistica dell'incertezza: viene determinata la distribuzione di probabilità dell'output del modello data la distribuzione di probabilità dei dati in ingresso. Un'altra possibilità è utilizzare metodi reduced basis, che prevedono la risoluzione del problema in N punti particolari scelti nello spazio dei parametri. Se da una parte è utile poter controllare la robustezza del modello prodotto, anche con metodi probabilistici, dall'altra sarebbe ancora più utile poter determinare la dipendenza funzionale della soluzione dall'input. Da un lato, questo farebbe conseguire una maggiore controllabilità del sistema sotto l'azione di piccole perturbazioni; da un altro, permetterebbe di determinare in maniera più semplice la soluzione al problema per specifici valori dei parametri. In questo lavoro descriveremo un nuovo metodo intrusivo, descritto ad esempio in [1], che punta in questa direzione. A tale scopo esso sfrutta tecniche di differenziazione automatica, ad esempio derivate dai Modelli Taylor, inizialmente sviluppati da Berz e Makino (si vedano [2], [3], [4] e [5]), per lo studio di sistemi dinamici i cui dati iniziali fossero intervalli. Attraverso particolari strumenti dei moderni linguaggi di programmazione, è possibile sfruttare queste tecniche per produrre un algoritmo in grado di approssimare la dipendenza funzionale dati-soluzione. Nel prossimo capitolo di questo lavoro descriveremo in dettaglio tale tecnica, e illustreremo l'implementazione al calcolatore degli oggetti che utilizza (i cosiddetti oggetti taylor). Dedichiamo i restanti capitoli a mostrare un'applicazione di questa tecnica alla risoluzione di un problema ellittico (il problema di Laplace), in corrispondenza di un dominio variabile secondo una certa parametrizzazione. L'applicazione considerata è la risoluzione di un problema fluidodinamico di flusso potenziale bidimensionale attorno all'ala di un aereo. Nel terzo capitolo introdurremo il problema di Laplace e il problema fluidodinamico. Nel quarto capitolo descriveremo la strategia utilizzata per creare la mesh di calcolo del dominio variabile. Nel quinto capitolo descriveremo il metodo numerico utilizzato per risolverlo (Galerkin-Elementi Finiti), opportunamente modificato per supportare la nuova tecnica. Nel sesto capitolo descriveremo l'implementazione numerica di una condizione fluidodinamica da applicare alle soluzioni. Nel settimo capitolo presentiamo un riassunto dei principali risultati.