Numerical solution of elliptic problems by virtual control methods

Marchesini, Cristina

Numerical solution of elliptic problems by virtual control methods

Friday 22nd October 2010

Quarteroni, A.

Discacciati, M.

The virtual control approach is based on the optimal control theory that has been introduced in domain decomposition method with overlapping subdomains to treat both heterogeneous couplings, involving Navier-Stokes and full potential operators ([1]), and homogeneous problems, either elliptic and parabolic (see [2, 3, 4, 5]). In the pioneering papers by Glowinski et al. ([1, 2]), this method was referred to as a Least Square formulation of the multi domain problem. The basic idea of this approach consists in introducing two “virtual” controls which play the role of unknown Dirichlet data on the interfaces of the decomposition and then minimizing the L2-norm of the difference between solutions (defined inside the two subdomains) on the overlap. A recent general description of this approach can be found in [6]. In this work we focus on the homogeneous domain decomposition method for a scalar elliptic problem in two dimensions. The approach is extended to the case of Neumann boundary controls on the interfaces and the difference between the solutions on the overlap is minimized in the L2-norm, the H10-norm and the H1-norm. An augmented H1 0-norm is also considered and the behavior of the method is studied in both the cases of a penalized cost functional and of a non-penalized cost functional. Well posedness is proved for all these choices of the cost functional. The optimality system is derived analytically and then it is numerically approximated by the Galerkin-Finite Element method. The numerical simulations allow the validation of the theoretical model and a comparison between the different control strategies: we vary the choice of boundary controls and the choice of cost functional. Even in the simple case of the Poisson equation, the numerical solution of such PDE-constrained optimization problems is usually quite expensive. The large dimensional linear systems which result from discretization and which need to be solved are of saddle-point type. The fact that we are solving a coupled problem on two domains introduces some additional difficulties and a high number of iterations is needed to achieve convergence. We study the issue of preconditioning the linear system that arises from a coupled virtual control problem. For that we take inspiration from the results derived in the contest of the domain decomposition and those concerning the preconditioning of optimization problems. Finally, the method is applied to the solution of the Stokes problem. The numerical simulations permit the identification of a suitable cost functional to be minimized on the overlapping region. Again, the virtual controls can play both the role of a Dirichlet condition on the velocity or that of the normal component of the Cauchy stress tensor. A preconditioning approach is also tested. Il metodo dei controlli virtuali è basato sulla teoria del controllo ottimo introdotta nell’ambito delle tecniche di decomposizione di dominio con ricoprimento per trattare problemi di accoppiamento eterogeneo, per esempio Navier-Stokes e operatori potenziali [1] e problemi omogenei di tipo ellittico e parabolico (si vedano [2, 3, 4, 5]). Nei primi lavori in cui il metodo viene trattato [1, 2], si parla di formulazione ai minimi quadrati del problema multi-dominio. Questo approccio si basa sull’idea di introdurre due controlli “virtuali” che rappresentano i dati di Dirichlet incogniti sulle interfacce della decomposizione e successivamente di minimizzare la norma L2 della differenza tra le due soluzioni (definite sui due sottodominii) nella regione di ricoprimento. Per una descrizione generale dell’approccio si veda [6]. In questo lavoro, ci siamo concentrati su un problema di decomposizione di dominio omogeneo per un’equazione scalare ellittica in due dimensioni. Il metodo è esteso al caso di controlli virtuali di tipo Neumann e la differenza tra le soluzioni sulla regione di ricoprimento viene minimizzata nella norma L2, nella norma H10 e nella norma H1. Inoltre viene introdotta una norma H10 aumentata e il metodo viene studiato in presenza e in assenza di penalizzazione del funzionale. La buona posizione del problema è dimostrata per tutte queste scelte del funzionale costo. Il sistema di ottimalità viene derivato analiticamente e successivamente viene discretizzato con il metodo degli elementi finiti. Attraverso le simulazioni numeriche è possibile convalidare il modello teorico ed effettuare un paragone tra i vari approcci al variare della scelta del tipo di controlli, Neumann o Dirichlet, e della scelta del funzionale costo. Anche nel semplice caso dell’equazione di Poisson, la risoluzione numerica del problema di controllo virtuale è piuttosto costosa dal punto di vista computazionale. Il sistema lineare che deriva dalla discretizzazione è di dimensioni elevate e presenta una struttura di tipo punto-sella. Il fatto che si sta risolvendo un problema accoppiato su due sottodominii introduce delle difficoltà aggiuntive e un grande numero di iterazioni è necessario per arrivare a convergenza. In questo lavoro viene studiato il problema di trovare un precondizionatore efficace per un sistema lineare che deriva da un problema di controllo virtuale. Per fare questo ci ispiriamo ai risultati derivanti dalla decomposizione di dominio e dal precondizionamento di problemi di controllo ottimo. Il metodo viene poi applicato al problema di Stokes. Attraverso le simulazioni numeriche vogliamo identificare il funzionale costo adatto per la minimizzazione della differenza tra le soluzioni sulla zona di ricoprimento. Anche in questo caso i controlli possono rappresentare le condizioni al bordo di Dirichlet per la velocità o la derivata normale del tensore degli sforzi di Cauchy. Inoltre viene testato un approccio di precondizionamento.