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Author: Milani Roberto
Title: Metodi a basi ridotte per la risoluzione di problemi parametrizzati in elasticita' lineare
Date: Wednesday 26th July 2006
Advisor: Alfio Quarteroni
Advisor II: Gianluigi Rozza
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Abstract: A fronte dell'esigenza di una sempre maggiore efficienza nel calcolo scientifico, il metodo a basi ridotte si propone come strumento capace di valutare rapidamente ed efficacemente tante relazioni di tipo input-output in problemi di progettazione, ottimizzazione e diagnosi, nei settori più disparati, cercando di superare il problema degli eccessivi costi computazionali impliciti nell'utilizzo del metodo di Galerkin ad elementi finiti per tali scopi. Con input si intende un parametro d'ingresso di interesse progettuale (di natura geometrica, meccanica, fisica, ingegneristica, etc.), con output la grandezza da ottimizzare. In questa tesi, l'obiettivo è stato quello di verificare le proprietà del metodo a basi ridotte nell'ambito dell'elasticità lineare, su problemi di interesse strutturale e tecnologico (material science e material tayloring) quali la progettazione e l'ottimizzazione del materiale (di diverso comportamento e sotto diverse ipotesi) rispetto a particolari condizioni di utilizzo (forma, condizioni di carico, etc.). Il metodo a basi ridotte si basa sul concetto che si possa ricercare la soluzione di un problema, dipendente da un parametro, come combinazione lineare di poche e specifiche funzioni di base, con proprietà di approssimanti globali, e non più di tante e generiche approssimanti locali (quali le funzioni di forma del metodo ad elementi finiti): ciò comporta una drastica riduzione delle dimensioni del problema e della relativa complessità. Le poche funzioni di base sono costituite da soluzioni del medesimo problema, ottenute per particolari valori del parametro, garantendo così il soddisfacimento della congruenza. Oltre a questo, si è sfruttata la proprietà di decomponibilità affine dell'operatore per identificare due stadi: un primo stadio, offline, oneroso dal punto di vista computazionale, in cui calcolare una sola volta i termini che non dipendono dal parametro; l'altro, online, efficiente e rapido, da eseguire per ogni nuovo input. Sono state poi implementate tecniche di ottimizzazione della procedura di costruzione della base ridotta e altre finalizzate ad un'accurata stima a posteriori dell'errore tra l'approssimazione a basi ridotte e l'equivalente soluzione ad elementi finiti. Tutto il lavoro di tesi è stato finalizzato alla ricerca di conferme delle proprietà numeriche che il metodo a basi ridotte aveva già dimostrato in altri settori, soprattutto in fluidodinamica. In particolare, gli aspetti più innovativi di questo lavoro sono: l'analisi del comportamento del metodo in problemi parametrizzati in cui variano simultaneamente, in ogni relazione input-output, tre tipologie di parametri differenti, cioè la geometria (forma del dominio), le proprietà fisiche e meccaniche (tipo di materiale) e le condizioni al contorno (carico); la parametrizzazione del legame sforzi-deformazioni e lo sviluppo della stima a posteriori nel caso di materiali ortotropi e, in generale, ortotropi ma a comportamento anisotropo (quando ad esempio, in un materiale composito con fibre monodirezionali, la direzione di queste ultime non coincide con quella di carico). Entrambi non erano mai stati affrontati in letteratura. Si è poi considerato nel caso dinamico anche un operatore non coercivo (dinamica di Helmholtz oltre la prima frequenza di risonanza), pur mantenendo le ipotesi dell'approssimazione di Galerkin e indagando i risultati così ottenuti