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Author: Santucci, Alessandro
Title: Superfici minime: applicazioni in architettura
Date: Monday 22nd February 2010
Advisor: Miglio, E.
Advisor II:
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Abstract: Lo studio del comportamento di una superficie vincolata in alcuni punti o su tutto il bordo ha sempre generato grande interesse nel corso della storia. Il primo che affrontò un problema di superfici di area minima fu Eulero nel 1744, con il suo lavoro di Calcolo delle Variazioni , in cui cercò di trovare la superficie di area minima avente come bordo due circonferenze nello spazio, poste su piani paralleli e allineate in modo che il segmento congiungente i centri risultasse perpendicolare a entrambi i piani di giacenza di tali circonferenze. Eulero dimostrò che la supercie cercata era la catenoide, ottenuta dalla rotazione di un arco di catenaria attorno all asse passante per i due centri. Dallo studio di tali problemi si sviluppa la teoria delle superfici minime; la data di nascita uciale è il 1762, anno di pubblicazione della memoria di Lagrange Essai d une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indénies. In questa pubblicazione Lagrange determina l equazione differenziale che deve essere necessariamente soddisfatta da tutti i punti della superficie che minimizza l area per un contorno assegnato nello spazio. L equazione trovata viene chiamata equazione di Eulero-Lagrange e, proprio con riferimento al problema dell area minima, Lagrange chiama superficie minima ogni superficie che soddisfa tale equazione, per questo chiamata anche equazione delle superfici minime. L obiettivo del seguente lavoro è la costruzione di superfici minime vincolate in uno o più punti al ne di rappresentare superci comunemente utilizzate in ambito architettonico, le quali permettono una miglioria nell edicazione degli spazi disponibili. In architettura, infatti, la fabbricazione di edici che ottimizzassero costi, materiali ma soprattutto gli spazi, costituiva un problema nel periodo di grande crescita demograca dovuta al boom economico. L architetto che più di altri utilizzò la teoria delle superfici minime a tale scopo fu Otto Frei. Per la creazione di superfici minime viene utilizzato un software liberamente disponibile in rete: Surface Evolver. In seguito si è cercato di modellizzare una situazione più complicata passando da 5 punti vincolati a 12. Nel Capitolo 1 vengono esposti gli aspetti principali della geometria differenziale delle superci nello spazio tridimensionale. Precisamente si affronta lo studio delle curvature delle sezioni di una superficie (arrivando così alle nozioni di curvatura media e curvatura gaussiana ) e in seguito il problema della metrica superficiale giungendo, infine, alla definizione delle forme fondamentali. Nel Capitolo 2, dopo una breve introduzione storica sul problema di Plateau, si affronta il problema del calcolo delle variazioni concludendo con la soluzione analitica del problema della brachistocrona. Nel Capitolo 3 si descrive il software Surface Evolver mostrando anche una serie di semplici esempi. Infine, nell ultimo capitolo vengono realizzate alcune superfici minime utilizzate in ambito architettonico quali, per esempio, coperture di spazi aperti.