Adattività spazio-tempo per sistemi di reazione-diffusione non lineari con applicazioni all’elettrocardiologia

Pezzuto, Simone

Adattività spazio-tempo per sistemi di reazione-diffusione non lineari con applicazioni all’elettrocardiologia

Wednesday 23rd December 2009

Nobile, F.

Perotto, S:

Questa tesi si pone l’obiettivo di implementare algoritmi di adattività numerica, sia in spazio che in tempo, per l’approssimazione numerica di sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali di diffusione-reazione. L’ambito nel quale particolarizzeremo questi sistemi sarà quello ell’elettrofisiologia. Infatti molti dei fenomeni che qui ricorrono, come la propagazione del potenziale elettrico nel cuore, possono essere modellati attraverso sistemi di tal natura. La particolarità di questi problemi risiede nel fatto che, nonostante siano equazioni paraboliche, presentano soluzioni caratterizzate dalla propagazione di fronti d’onda o di impulsi, tipiche invece delle equazioni iperboliche. Da un punto di vista fisico, infatti, vi è un continuo bilanciamento tra il termine di diffusione e quello di reazione (solitamente non lineare). La difficoltà associata alla risoluzione di equazioni di questo tipo è dunque duplice: da un lato si generano forti gradienti in zone molto limitate, che impongono un certo vincolo sul passo di griglia spaziale; dall’altro la presenza di un fronte che avanza, introduce il problema di adattare la griglia cercando di seguire il fronte stesso. In letteratura sono presenti diversi lavori, nell’ambito dell’elettrocardiologia, che si pongono l’obiettivo di utilizzare tecniche adattive in spazio e in tempo per problemi di diffusione-reazione (si veda, ad esempio, [CFPS06,DERL09,CFDEÅ06,BBRBS09,BBRB10]). La direzione intrapresa in questo lavoro di tesi è quella di far guidare l’ottimizzazione della griglia e del passo temporale da uno stimatore a-posteriori dell’errore di tipo residuale: questo vuol dire che, a differenza di quanto fatto negli articoli sopra citati, lo stimatore è definito in termini matematici rigorosi ed è strettamente legato al problema in esame. Questo lavoro, nel pieno spirito dell’Ingegneria Matematica, è organizzato su due livelli: uno modellistico-applicativo, che trova spazio nel primo Capitolo, ed uno prettamente numerico, che copre i restanti tre Capitoli.