Modellazione monodimensionale di vasi sanguigni con effusione laterale

Bugada, Alessandro

Modellazione monodimensionale di vasi sanguigni con effusione laterale

Tuesday 24th February 2009

Formaggia, L.

Vergara, C.

La modellistica matematica mira a descrivere in termini matematici i molteplici aspetti del mondo reale e la loro dinamica evolutiva. Una ragione del crescente successo della modellistica matematica è da ascrivere allo sviluppo impetuoso del calcolo scientifico, che consente di tradurre un modello matematico (che in forma analitica sarebbe risolubile solo in rarissime situazioni) in algoritmi che possano venire trattati e risolti dai calcolatori, la potenza dei quali appare ancora in costante crescita. Oggi la modellistica matematica è ampiamente consolidata in molti settori, ad esempio in quelli industriale e ambientale, ma diventa evidente come il suo contributo possa essere vantaggiosamente apportato anche a numerosi altri ambiti. In questo senso risulta sempre più rilevante l elaborazione di modelli matematici per le scienze della vita; in particolare in questa trattazione si considera un problema di emodinamica. L emodinamica è quella branca della fisica che analizza e studia quantitativamente il comportamento del sangue in movimento nei vasi. Scorrendo nelle arterie e nelle vene, il sangue interagisce meccanicamente con le pareti dei vasi, dando origine a complessi problemi di interazione fluido-struttura. La modellazione matematica in ambito emodinamico permette di fare delle previsioni sul comportamento del sangue e quindi, in linea di principio, di ridurre i rischi delle patologie legate alla circolazione sanguigna. Esistono diversi modelli per la simulazione della uidodinamica vascolare. La base comune è costituita da equazioni differenziali alle derivate parziali in spazio e tempo, che sono generalmente ricavate dalle equazioni di conservazione della massa e del momento. Si distinguono tre livelli di complessità dei modelli: tridimensionale (3D), monodimensionale (1D) e a parametri concentrati (0D). I modelli 3D sono i più realistici e complessi: essi permettono di ottenere informazioni dettagliate nello spazio, ma hanno un elevato costo computazionale. Allo stato attuale sono adatti per lo studio approfondito della fluidodinamica in distretti locali, quali una biforcazione, un aneurisma, uno stent. Nei modelli 1D, ottenuti a partire da opportune ipotesi semplicative, l albero vascolare viene considerato come una rete di vasi deformabili, ciascuno dei quali viene descritto dalla sola variabile spaziale assiale, ottenendo un sistema di due PDE, le cui incognite sono i valori mediati (su ciascuna sezione ortogonale all asse del vaso) di velocità e pressione. Modelli di questo tipo si rivelano sucientemente accurati per un indagine di tipo sistemico: si riescono infatti ad ottenere buone descrizioni delle deformazioni della parete nonché i relativi andamenti del usso e della pressione medi nel distretto. Questo lavoro si propone di descrivere, mediante un modello 1D, il comportamento del usso sanguigno all interno di vasi che presentano una perdita laterale di uido. L esigenza di uno studio simile nasce dall esistenza all interno dell apparato circolatorio umano di arterie con peculiarità che conferiscono loro un comportamento assimilabile a quello appena descritto; ne sono esempio i vasi sanguigni del Circolo di Willis descritti nel Capitolo 1. Inoltre, nel Capitolo 2 è derivato il modello matematico mettendo in luce le diversità con il caso standard (cioè senza perdita laterale) e nel Capitolo 3 è presentata la discretizzazione numerica. Infine nel Capitolo 4 sono presentate alcune simulazioni numeriche volte a validare il modello proposto.