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IL METODO DEGLI ELEMENTI FINITI: FONDAMENTI E APPLICAZIONI AVANZATE IN INGEGNERIA (2a edizione)

ARGOMENTI delle LEZIONI


1) INTRO - Introduzione al corso (1 ora):
Registrazione dei partecipanti; distribuzione del materiale didattico.
Presentazione della struttura del corso: una panoramica degli argomenti trattati. Introduzione e descrizione del modello matematico alle derivate parziali per lo studio di problemi non stazionari di diffusione, trasporto e reazione. Esempi di applicazione: problemi di trasmissione del calore in fisica tecnica, di potenziale in elettromagnetismo, di trasporto-diffusione-reazione di inquinanti in fluidodinamica ambientale.

2) FOND - Fondamenti dell'Analisi Numerica (1 ora):
Concetti generali di consistenza, stabilita` e convergenza di uno schema numerico per l'approssimazione di un modello matematico. Panoramica delle principali tecniche di discretizzazione per un modello differenziale alle derivate parziali (differenze finite, elementi finiti, volumi finiti).

3) ELL.x - Problemi ellittici e parabolici (4 ore):
- ELL.1: Problemi Ellittici
Il problema ellittico: formulazione integrale del problema, interpretazione energetica; forme bilineari: definizione, proprietą di continuitą ed ellitticitą, il teorema di rappresentazione di Riesz; esistenza e unicitą della soluzione del problema ellittico: il Lemma di Lax-Milgram; regolaritą della soluzione del problema integrale (cenni).
- ELL.2: Il Metodo degli Elementi Finiti (FEM)
Approssimazione del problema ellittico con il metodo Galerkin-elementi finiti: discretizzazione geometrica del dominio; spazi di elementi finiti polinomiali a tratti; proprietą di stabilitą e convergenza dell'approssimazione Galerkin-elementi finiti.
Assemblaggio della matrice dei coefficienti e del termine noto derivanti dalla discretizzazione ad elementi finiti; formule di integrazione numerica (cenni).
Analisi della struttura algebrica del problema discreto e delle proprietą della matrice dei coefficienti.
- ELL.3: Problemi di Diffusione
Il problema parabolico modello: l'equazione del calore. Il theta-metodo per la discretizzazione temporale del problema parabolico. Struttura e proprietą del sistema lineare algebrico da risolvere ad ogni passo temporale; diagonalizzazione della matrice di massa. Risultati di stabilitą  e di convergenza dell'approssimazione Galerkin-elementi finiti (in spazio) con il theta-metodo (in tempo). Cenni all'uso di elementi finiti in spazio-tempo.
- ELL.4: Esempi ed Applicazioni a Calcolatore
Validazione numerica dell'approssimazione Galerkin-elementi finiti su casi test con soluzione esatta: soluzione con regolaritą (problema di Poisson su dominio quadrato) e senza regolaritą (problema di Poisson su dominio a forma di L).

4) ADVDIF.x - Il problema di diffusione-trasporto stazionario (2 ore):
-ADVDIF.1: Il Problema di Diffusione-Trasporto
Evidenze sperimentali (in due dimensioni spaziali) dell'instabilitą numerica della discretizzazione Galerkin con elementi finiti lineari a tratti e continui. Formulazione Galerkin con elementi finiti lineari a tratti e continui del problema di diffusione-trasporto in una dimensione spaziale. Analisi della struttura della matrice dei coefficienti e della soluzione discreta. Numero di Péclet e sua correlazione con i fenomeni di instabilitą del metodo di discretizzazione.
Equivalenza della formulazione Galerkin-elementi finiti lineari a tratti e continui con il metodo a differenze finite centrate; introduzione della differenza finita di tipo upwind e del concetto di viscositą numerica.
-ADVDIF.2: Tecniche di Stabilizzazione per Problemi di Diffusione-Trasporto Multidimensionali
I metodi SUPG e GALS. Cenni alle tecniche di stabilizzazione basate sull'uso di formulazioni di tipo multiscala per il problema di diffusione-trasporto. Verifiche sperimentali del comportamento dei metodi stabilizzati su problemi a trasporto dominante: analisi della diffusione numerica nella direzione del trasporto e nella direzione perpendicolare al trasporto.

5) LINALG.x - Risoluzione di sistemi lineari di grandi dimensioni (2 ore):
- LINALG.1: Metodi Diretti
Tecniche di memorizzazione di matrici in formato sparso. Risoluzione di sistemi lineari di grande dimensione con metodi diretti: fattorizzazione LU; l'algoritmo di riordinamento di Cuthill-McKee inverso (cenni).
- LINALG.2: Metodi Iterativi
Risoluzione di sistemi lineari di grande dimensione con metodi iterativi: metodi di Richardson precondizionati e metodi basati sulle iterazioni negli spazi di Krylov. Tecniche di precondizionamento: precondizionatori basati sulla fattorizzazione LU incompleta della matrice.

6) DD.x - Tecniche di Decomposizione di Domini (DD) (2 ore):
- DD.1: Introduzione
Metodi di Schwarz (con overlap) e metodi di Schur (senza overlap).
- DD.2: Precondizionatori
Precondizionatori paralleli di Schwarz e di Schur. Il problema del Precondizionatore Multilivello. Applicazioni.


7) SYLL.1 - Introduzione alla programmazione del metodo degli elementi finiti in ambiente MATLAB® (1 ora):

Comandi di base, M-files, functions, grafica.

8) IMPL.x - Implementazione (3 ore):
- IMPL.1: Le 4 fasi di un algoritmo di calcolo FEM
Pre-processing dei dati, generazione della griglia di calcolo e gestione delle condizioni al contorno; assemblaggio della matrice dei coefficienti e del termine noto; risoluzione del sistema algebrico lineare; post-processing dei risultati. Applicazione a problemi monodimensionali.
- IMPL.2: Problemi multidimensionali (parte 1)
Implementazione di un codice FEM in due e tre dimensioni spaziali, con particolare attenzione alla gestione delle condizioni al contorno.
- IMPL.3: Problemi multidimensionali (parte 2)
Tecniche di post-processing. Validazione dei codici di calcolo su casi test significativi

9) TMW.x - L'ambiente MATLAB® per il calcolo scientifico (2 ore):
Risoluzione numerica di modelli differenziali alle derivate parziali in Ingegneria con il toolbox pdetool di MATLAB®.

10) GRID.1 - Tecniche di adattivita` di griglia (1 ora):
Introduzione: griglie strutturate e non strutturate. Tecniche per la generazione di griglie non strutturate. L'algoritmo di Delaunay.

11) ADPT.x - Stimatori a posteriori dell'errore nelle procedure di adattivitą della griglia di calcolo (2 ore):
- ADPT.1: Stimatori basati sul calcolo del residuo
Stimatori a posteriori dell'errore basati sul calcolo del residuo locale e sulla ricostruzione del gradiente della soluzione discreta. Tecniche di raffinamento e deraffinamento per l'adattivitą della griglia (cenni).
- ADPT.2: Esempi e applicazioni di stimatori a posteriori dell'errore efficienti ed affidabili
Lo stimatore a posteriori dell'errore di Zienckiewicz-Zhu: proprietą di superconvergenza e validazione nella risoluzione di problemi di diffusione-trasporto e di fluidodinamica computazionale.

12) H-ON.x - Verifica a calcolatore delle metodologie numeriche nella risoluzione di problemi di ingegneria (3 ore):
- H-ON.1: Esempi in una dimensione spaziale
Diffusione ossigeno in una cellula; lubrificazione di un cuscinetto a sfera; simulazione di una candeletta per il pre-riscaldamento di un motore diesel.
- H.ON.2: Esempi in due dimensioni spaziali
Il modello drift-diffusion per la simulazione di un dispositivo a semiconduttore.
- H-ON.3: Esempi in tre dimensioni spaziali
Il modello di Black-Scholes in finanza matematica; simulazione di flussi in mezzi porosi con la legge di Darcy.
Le sessioni di lavoro H-ON.x utilizzeranno l'ambiente di calcolo MATLAB® e software di calcolo dedicato alla risoluzione numerica con il metodo FEM di modelli differenziali alle derivate parziali (Life V con Expression Templates, FreeFem).

13) STAB.x - Tecniche di stabilizzazione per modelli alle derivate parziali (2 ore):
Panoramica dello stato dell'arte nel settore dei metodi di stabilizzazione per il metodo FEM.

14) MECH.x - Modelli differenziali in meccanica dei continui in regime comprimibile e incomprimibile (2 ore):
- MECH.1: Problemi di elasticita` piana
Definizione del problema ed esempi di applicazione: il caso di stato di sforzo piano e di stato di deformazione piana. Formulazione integrale "agli spostamenti" del problema differenziale e interpretazione energetica. Approssimazione del problema dell'elasticitą piana con il metodo Galerkin-elementi finiti; il problema dei moti rigidi e dei meccanismi. Post-calcolo degli sforzi; calcolo di strutture piane sottoposte a differenti condizioni di carico.
- MECH.2: Problemi in regime incomprimibile e quasi-incomprimibile
Esempi di materiali in meccanica dei continui con comportamento quasi-comprimibile e incomprimibile. Studio del comportamento della formulazione Galerkin-elementi finiti agli spostamenti nel caso di materiali quasi-incomprimibili: il fenomeno del locking e la sua evidenza numerica. Il metodo B-bar (cenni).
Formulazione mista del problema dell'elasticitą lineare; interpretazione energetica come problema di punto-sella. Discretizzazione con elementi finiti misti del problema dell'elasticitą lineare; scelta di spazi di elementi finiti compatibili: la condizione di Brezzi-Babuska; esempio di spazi di elementi finiti compatibili: l'elemento PEERS. Esempi numerici di applicazione della formulazione mista in regime comprimibile e quasi-incomprimibile.

15) HYP.x - Problemi iperbolici del prim'ordine (2 ore):
- HYP.1: Problemi monodimensionali
Fondamenti matematici delle equazioni iperboliche lineari del prim'ordine: definizione di caratteristica; analisi qualitativa della soluzione nel caso di dati iniziali regolari e non regolari; soluzioni di tipo vanishing viscosity. Discretizzazione a differenze finite dell'equazione iperbolica lineare del prim'ordine:
metodi espliciti, definizione di flusso numerico ed esempi specifici. Stabilitą , consistenza e convergenza di metodi espliciti; la condizione CFL. Discretizzazione a elementi finiti dell'equazione iperbolica lineare del prim'ordine.
- HYP.2: Problemi multidimensionali
Dissipazione e dispersione: errore di amplificazione, errore di dispersione. Validazione numerica delle tecniche di discretizzazione illustrate. Discretizzazione ad elementi finiti di pb. iperbolici lineari del prim'ordine multidimensionali: il metodo Discontinuous Galerkin (DG). Validazione ed esempi numerici.

CONCL - Conclusione del corso
Conclusione del corso. Presentazione di corsi avanzati.

N.B: il programma dettagliato potrą subire variazioni su argomenti specifici.

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